1
00:00:08,600 --> 00:00:13,080
好了. 這是線性代數的第六講.
2
00:00:13,250 --> 00:00:20,290
而我們也將開始這新的一章, 課本的第 三 章,
3
00:00:21,220 --> 00:00:24,600
剛好也是線性代數的核心.
4
00:00:24,760 --> 00:00:33,100
而我也已利用第五講的最後一點時間為這章起了個頭.
5
00:00:33,320 --> 00:00:37,660
但現在, 是第六講了.
6
00:00:37,760 --> 00:00:42,190
正式來說, 這一講是關於向量空間以及從屬空間.
7
00:00:42,320 --> 00:00:44,420
而特別是,
8
00:00:44,510 --> 00:00:48,940
在這裡我們對 兩個 從屬空間 特別感到興趣.
9
00:00:49,130 --> 00:00:52,260
其中一個是矩陣的縱列空間;
10
00:00:52,370 --> 00:00:55,230
而另一個就是矩陣的 虛空.
11
00:00:55,350 --> 00:00:58,330
所以, 我將要告訴你這些是什麼.
12
00:00:58,440 --> 00:01:05,570
好, 所以, 第一是要記得第五講中的
13
00:01:05,710 --> 00:01:08,020
向量空間是什麼?
14
00:01:08,160 --> 00:01:12,370
這是一串的向量
15
00:01:13,030 --> 00:01:19,550
在我允許的地方, 在我可以任意加上 兩個 向量 於空間的地方
16
00:01:19,680 --> 00:01:22,620
而答案就留在空間裡.
17
00:01:22,750 --> 00:01:27,440
或是我可以將任和再空間裡的向量乘以任何一個 常數/不變數,
18
00:01:27,530 --> 00:01:30,140
而結果還是會停留在空間中.
19
00:01:30,290 --> 00:01:31,480
所以那就是...
20
00:01:31,580 --> 00:01:34,540
事實上, 如果我將這兩個結合成一個
21
00:01:34,670 --> 00:01:40,450
你可以看到如果做加法與乘法
22
00:01:40,570 --> 00:01:44,400
那真的就代表我可以有 線性合體.
23
00:01:44,530 --> 00:01:49,980
所以一個簡短的說法就是 所有的 線性合體
24
00:01:50,100 --> 00:01:55,380
C, 任何 v 的倍數,加上任何 w 的倍數 會停留在空間中.
25
00:01:55,520 --> 00:02:00,270
所以, 我可以給你一些向量空間的例子
26
00:02:00,390 --> 00:02:02,710
跟一些其它的例子
27
00:02:02,810 --> 00:02:04,810
讓這個概念更清楚?
28
00:02:04,920 --> 00:02:08,570
所以假設我的意思是三度空間
29
00:02:10,150 --> 00:02:13,020
那麼一種方法要..
30
00:02:14,860 --> 00:02:18,170
一個空間就是全部的三度空間.
31
00:02:18,310 --> 00:02:24,940
所以這整個空間 R3, 第三度空間, 便會是一個向量空間
32
00:02:25,060 --> 00:02:27,170
因為如果我有一些向量,
33
00:02:27,320 --> 00:02:32,400
我可將它們相加, 而我也確定是沒問題的, 而它們也遵守著所有的規則.
34
00:02:32,490 --> 00:02:34,650
所以, R3 是容易的.
35
00:02:34,770 --> 00:02:38,750
現在, 我也對從屬空間有興趣了,
36
00:02:39,470 --> 00:02:42,000
所以這裡有個關鍵字 從屬空間 .
37
00:02:42,540 --> 00:02:44,100
那是一個空間.....
38
00:02:44,210 --> 00:02:50,410
那些是一些在空間裡的 向量, 在 R3 裡,
39
00:02:50,500 --> 00:02:54,270
那還是可以形成一個它們自己的向量空間.
40
00:02:54,360 --> 00:02:57,180
這是一個在向量空間裡面的 向量空間.
41
00:02:57,260 --> 00:03:00,400
而最簡單的例子便是 平面.
42
00:03:00,490 --> 00:03:03,270
所以, 我可以在這裡畫個草圖吧?
43
00:03:03,360 --> 00:03:05,320
這裡是一個 平面.
44
00:03:05,470 --> 00:03:10,490
這必須要通過 原點, 而當然這可以到達無限遠.
45
00:03:10,580 --> 00:03:12,980
那就是一個 從屬空間 了.
46
00:03:13,040 --> 00:03:18,200
看到嗎 如果我有兩個向量在一個空間內,
47
00:03:18,350 --> 00:03:23,140
然後將它們相加, 那麼結果會停留在 平面 裡?
48
00:03:23,270 --> 00:03:27,140
如果我從一個 平面 中提出一個向量, 然後將它乘以 -2,
49
00:03:27,250 --> 00:03:28,890
我還是在平面裡.
50
00:03:28,990 --> 00:03:31,050
所以, 那個 平面 是個 從屬空間 .
51
00:03:31,160 --> 00:03:33,440
所以讓我來指出這個要點.
52
00:03:33,550 --> 00:03:43,320
通過 0 的 平面, 通過 ( 0,0,0 ), 是一個空間.
53
00:03:44,490 --> 00:03:52,130
好. 而還有, 另一個 從屬空間 便會是一條 線.
54
00:03:52,230 --> 00:03:55,380
一條通過 (0,0,0) 的線.
55
00:03:55,390 --> 00:03:57,010
阿, 對了, 一條線一定要通過 原點 的.
56
00:03:57,060 --> 00:04:02,370
所有的從屬空間一定得要包含 原點, 保含 0 的向量.
57
00:04:02,460 --> 00:04:08,460
所以, 這條線是一個 從屬空間.
58
00:04:10,260 --> 00:04:12,600
真的如果我...
59
00:04:12,700 --> 00:04:19,100
如果我真的想把它說正確的話, 我應該說 一個 R3 的 從屬空間.
60
00:04:19,230 --> 00:04:22,720
那是...所有的 R3 在那都像被解釋了.
61
00:04:22,890 --> 00:04:27,580
現在, 就讓我把這叫做 平面 P
62
00:04:27,680 --> 00:04:31,170
而讓我把這個叫做 Line L
63
00:04:31,280 --> 00:04:40,950
而讓我問你關於其它幾組...其它組的向量.
64
00:04:41,070 --> 00:04:45,880
假設我拿...所以這裡有了第一個問題.
65
00:04:46,000 --> 00:04:50,590
假設我有兩個 從屬空間, 像是 P 跟 L
66
00:04:50,730 --> 00:04:57,400
而我就把它們放在一起, 取它們的 結合(合併體), 取所有的向量.
67
00:04:57,490 --> 00:05:01,480
所以, 現在在你的腦海裡有 P 跟 L 了...
68
00:05:01,610 --> 00:05:04,790
所以我有 兩個 從屬空間...
69
00:05:04,930 --> 00:05:06,900
我有 兩個 從屬空間...
70
00:05:07,050 --> 00:05:12,650
舉個例, P 是一個 平面, 而 L 是一條 線 .
71
00:05:12,910 --> 00:05:18,700
好. 現在, 我想要問問你關於那些的 結合(合併體)
72
00:05:18,800 --> 00:05:31,460
所以 P 與 L 結合. 這是指所有在 P 或是 L 裡的向量. 或是兩者.
73
00:05:34,060 --> 00:05:36,130
那是一個 從屬空間 嗎?
74
00:05:39,340 --> 00:05:48,550
這是不是一個 從屬空間 ?
75
00:05:49,250 --> 00:05:54,150
因為我只是想要確定, 我有得到 核心概念 .
76
00:05:55,230 --> 00:05:58,470
假設我取在平面中的向量,
77
00:05:58,640 --> 00:06:03,190
還有在那條 線 上的向量,
78
00:06:03,970 --> 00:06:06,560
把它們放在一起, 所以我就擁有了一串的 向量.
79
00:06:06,830 --> 00:06:07,880
那樣算是 從屬空間 嗎?
80
00:06:07,980 --> 00:06:09,350
你可不可以給我像是...
81
00:06:09,430 --> 00:06:11,850
所以那攝影機或是錄影帶會聽到...
82
00:06:11,990 --> 00:06:14,560
你可以說 對的 或是 錯的 ?
83
00:06:15,530 --> 00:06:17,650
我會有一個 從屬空間嗎 如果我放,
84
00:06:18,140 --> 00:06:25,710
如果我取所有在 平面 上的向量 加上...還有所有在那條 線 上的,
85
00:06:25,820 --> 00:06:27,800
然後將它們結合在一起.
86
00:06:27,910 --> 00:06:30,250
但我並沒有要拿這個傢伙.
87
00:06:31,410 --> 00:06:33,260
事實上我大部分的我並沒有要拿,
88
00:06:33,410 --> 00:06:36,710
因為絕大多數的向量並沒有在 線 或是 平面 上,
89
00:06:36,860 --> 00:06:37,980
它們在另外某處.
90
00:06:38,080 --> 00:06:40,920
我有 從屬空間 了嗎?
91
00:06:40,990 --> 00:06:43,220
沒有!對! 謝謝你! 沒有!
92
00:06:43,360 --> 00:06:45,640
因為...為什麼沒有?
93
00:06:45,810 --> 00:06:48,310
因為我沒辦法做加法!
94
00:06:48,470 --> 00:06:53,100
因為如果我...那條件並沒有被滿足.
95
00:06:53,190 --> 00:06:56,080
如果我取一個像這樣的向量,
96
00:06:56,190 --> 00:06:59,070
然後另一個剛好從 L 來的向量, 然後相加,
97
00:06:59,170 --> 00:07:00,680
我就在另外一個地方了.
98
00:07:01,040 --> 00:07:06,630
你可以看到我已經在這個 合併體 之外了.
99
00:07:06,790 --> 00:07:10,310
如果我做一個加法, 某個從 P 而某個從 L
100
00:07:10,460 --> 00:07:14,650
而通常情況會變成 我就在 合併體 之外了,
101
00:07:16,760 --> 00:07:17,960
而我並沒有一個 從屬空間.
102
00:07:18,070 --> 00:07:21,940
所以正確的答案會是 沒有.
103
00:07:22,320 --> 00:07:25,060
好. 那麼讓我問你關於...
104
00:07:25,150 --> 00:07:28,420
另外一件我們要做的事是取 相交點(交叉點)
105
00:07:29,370 --> 00:07:31,520
所以 相交點 又代表著什麼?
106
00:07:31,610 --> 00:07:44,540
相交點 代表 所有的向量 都同時在 P 與 L 裡.
107
00:07:45,000 --> 00:07:46,630
這是個 從屬空間 嗎?
108
00:07:46,970 --> 00:07:50,990
所以我想我會想回到那個相同的問題:
109
00:07:51,090 --> 00:07:53,530
這到底是不是一個 從屬空間.
110
00:07:53,660 --> 00:07:55,650
而你可以回答我...
111
00:07:55,760 --> 00:07:59,900
先針對這個問題做一個回答
112
00:08:00,000 --> 00:08:01,830
這個我畫的圖.
113
00:08:01,920 --> 00:08:05,520
P 與 L 的 相交點 是什麼, 在這次?
114
00:08:05,610 --> 00:08:12,680
是僅有的 0 ! 那是個類似藝術家的概念去畫它...
115
00:08:12,820 --> 00:08:19,670
那條 L 並不在 平面, 而且跑到別的地方去了.
116
00:08:19,790 --> 00:08:23,740
而唯一共享的一 點 是那個 向量 0.
117
00:08:23,910 --> 00:08:27,100
那麼 向量 0 它自己就是個 從屬空間 嗎?
118
00:08:27,270 --> 00:08:29,000
是的, 絕對是的.
119
00:08:29,120 --> 00:08:35,360
而如果我沒有這個 平面 以及 這條 線 的話呢
120
00:08:35,460 --> 00:08:40,060
但任何其它的 從屬空間...
121
00:08:40,180 --> 00:08:44,810
所以, 我可以對任何兩個 從屬空間 提出那個問題嗎?
122
00:08:45,030 --> 00:08:48,060
所以,也許我會把它寫在這裡.
123
00:08:52,430 --> 00:09:01,740
所以, 這是個一般性的問題, 我有 從屬空間, 就取 S 與 T 吧.
124
00:09:01,880 --> 00:09:10,890
而我想要問你關於它們的 相交點, S 與 T 相交
125
00:09:11,010 --> 00:09:20,700
而這是一個 從屬空間. 你知道為什麼嗎?
126
00:09:22,840 --> 00:09:29,360
你知道我為甚麼會取那些同時存在於兩個從屬空間的向量嗎?
127
00:09:29,490 --> 00:09:32,700
那就也許像是一組數目較少的向量, 因為這是...
128
00:09:32,810 --> 00:09:37,760
加上了必須要是在 S 與 T 裡面 這樣的條件.
129
00:09:37,870 --> 00:09:39,690
那我要如何知道它是個從屬空間?
130
00:09:39,780 --> 00:09:42,070
可以讓我們徹底的想清楚那抽象的東西嗎
131
00:09:42,150 --> 00:09:44,590
好讓我們來看一些範例?
132
00:09:45,080 --> 00:09:47,400
好的. 所以為甚麼?
133
00:09:47,940 --> 00:09:52,300
假設我取了一些在 相交點 的向量.
134
00:09:52,440 --> 00:09:57,930
為甚麼那總和還是會在 相交點 裡?
135
00:09:58,070 --> 00:10:02,360
好, 就讓我來為這些 向量 命名吧, 就叫 v 與 w 吧.
136
00:10:02,510 --> 00:10:04,190
它們在 相交點.
137
00:10:04,310 --> 00:10:09,960
所以, 那就代表他們都在 S 之中, 也都在 T 之中.
138
00:10:10,080 --> 00:10:13,180
所以, 對於 v + w 我可以說些什麼?
139
00:10:13,230 --> 00:10:17,470
這是在 S 裡嗎? 是的, 對吧?
140
00:10:17,570 --> 00:10:24,000
如果我取 2 個向量, v 與 w, 兩個都在 S, 那麼總和也是在 S
141
00:10:24,080 --> 00:10:25,710
因為 S 是一個 從屬空間.
142
00:10:25,880 --> 00:10:29,630
而如果他們同時都在 T 而我把他們相加
143
00:10:29,770 --> 00:10:32,850
那麼結果也是會在 T 之中, 因為 T 是個 從屬空間.
144
00:10:33,010 --> 00:10:38,610
所以, 結果 v + w 就在 相交點 之中.
145
00:10:38,710 --> 00:10:43,410
在兩者之中, 而條件 1 是被滿足的.
146
00:10:44,280 --> 00:10:45,830
條件 2 也一樣.
147
00:10:46,220 --> 00:10:50,240
如果我取了一個同時在兩者的 向量, 將它乘以 7.
148
00:10:50,810 --> 00:10:55,120
7 乘以那個 向量 是在 S 之中 因為那個向量是在 S 裡.
149
00:10:55,270 --> 00:10:59,650
7 乘以那個向量會在 T之中, 因為原始的那個是在 T 裡.
150
00:10:59,780 --> 00:11:02,610
所以 7 乘以 那個向量 是在 相交點 裡.
151
00:11:02,740 --> 00:11:04,650
換句話說
152
00:11:05,720 --> 00:11:10,480
當你取了兩個 從屬空間 的 相交點 你很有可能會得到一個更小的 從屬空間
153
00:11:10,570 --> 00:11:12,240
但這是個 從屬空間. 好的.
154
00:11:13,500 --> 00:11:16,670
所以, 那就像是..
155
00:11:17,040 --> 00:11:22,750
就強調那兩個條件是什麼意思, 再一次要...
156
00:11:24,120 --> 00:11:26,990
讓我把他們圈起來, 因為他們是如此的重要.
157
00:11:27,120 --> 00:11:30,930
那總和與數量乘積,
158
00:11:31,030 --> 00:11:35,260
那結合成 線性合體 的
159
00:11:35,390 --> 00:11:39,470
那就是你要在 從屬空間 裡做的. OK.
160
00:11:39,580 --> 00:11:43,430
再來就是 直列空間 了!
161
00:11:43,530 --> 00:11:48,280
OK. 所以, 我上一次的講課已將那個起了個投, 而我想要繼續.
162
00:11:48,580 --> 00:11:56,460
OK. 在 矩陣 之中 的 直列空間, 屬於 A 的, 好的.
163
00:11:57,130 --> 00:11:59,190
我可以舉個例子嗎?
164
00:12:00,940 --> 00:12:14,060
像是 [1,2,3,4; 1,1,1,1;2,3,4,5] 好.
165
00:12:16,160 --> 00:12:17,810
那就是我的 矩陣 A.
166
00:12:21,420 --> 00:12:25,780
所以這裡有 直列, 3 個直列.
167
00:12:25,940 --> 00:12:28,130
這些 列 是向量.
168
00:12:28,260 --> 00:12:32,630
所以屬於這個 A 的 直列空間, 這個 A 的.
169
00:12:32,750 --> 00:12:36,430
就讓我們停留再這個例子一會兒.
170
00:12:36,530 --> 00:12:43,490
而這個矩陣的直列空間是個屬於 R 的從屬空間, R 什麼?
171
00:12:43,610 --> 00:12:47,940
所以我們在哪個空間 如果我們在看的是這個矩陣的直列?
172
00:12:48,080 --> 00:12:50,660
R4, 對吧?
173
00:12:50,800 --> 00:12:53,310
這些是在 R4 裡的 向量.
174
00:12:53,460 --> 00:12:55,720
它們是 四度空間 的向量.
175
00:12:55,830 --> 00:13:03,200
所以, A 的 直列空間 是個屬於 R4 的 從屬空間.
176
00:13:05,950 --> 00:13:11,200
因為 A 是個 4 乘以 3 的矩陣.
177
00:13:11,330 --> 00:13:14,020
這告訴了我有多少 排 在這裡;
178
00:13:14,120 --> 00:13:16,380
有多少要素(成份) 在一 列 裡.
179
00:13:16,510 --> 00:13:18,040
所以, 我們在 R4 裡.
180
00:13:18,100 --> 00:13:21,060
OK. 那麼在 從屬空間 裡的又是什麼?
181
00:13:21,130 --> 00:13:26,460
什麼是...所以 A 的直列空間 是個 R4 的 從屬空間.
182
00:13:26,580 --> 00:13:31,300
我把它叫做 A 的 直列空間 像那樣 C(A)
183
00:13:31,410 --> 00:13:37,670
所以, 那是我的小記號, 給一些 R4 的 從屬空間. 在 R4 裡是什麼?
184
00:13:37,760 --> 00:13:38,730
在那個 從屬空間 裡是什麼?
185
00:13:38,840 --> 00:13:43,320
看阿, 那 直列 一定 會是在, (1,2,3,4).
186
00:13:43,450 --> 00:13:47,530
這個直列在裡面, 這個直列在裡面, 那麼其它的呢?
187
00:13:47,870 --> 00:13:50,560
所以這裡面就有了 A 的 直列 ?
188
00:13:50,970 --> 00:13:54,230
但那是不夠的, 一定的. 對吧?
189
00:13:54,400 --> 00:13:57,720
我沒有一個 從屬空間; 我只放了 3 個向量.
190
00:13:57,830 --> 00:14:01,040
所以我要如何把它們給填滿好變成一個 從屬空間?
191
00:14:01,330 --> 00:14:07,340
我取它們的 線性合體.
192
00:14:08,050 --> 00:14:19,090
所以 A 的 直列空間 是所有屬於那直列的 線性合體.
193
00:14:21,690 --> 00:14:26,710
而那些拿夠給我 從屬空間 的 會給我一個 向量空間
194
00:14:26,830 --> 00:14:30,310
因為如果我有一個 線性合體, 而我將它乘以 11
195
00:14:30,440 --> 00:14:32,520
我就會有了另一個 線性合體.
196
00:14:32,730 --> 00:14:35,910
如果我有了一個 線性合體, 我將它加上另一 線性合體
197
00:14:36,030 --> 00:14:37,660
我會得到 第三個 合體.
198
00:14:37,800 --> 00:14:42,290
所以, 這就像是個最小的空間...
199
00:14:42,430 --> 00:14:45,390
這就要包含那三個直列
200
00:14:45,530 --> 00:14:49,520
而那就要有它們的 合體, 就是我們要開始的地方. 好.
201
00:14:50,020 --> 00:14:54,840
現在, 我將會對那塊空間感到興趣
202
00:14:56,390 --> 00:14:59,180
有點概念, 在那空間理會是什麼
203
00:14:59,320 --> 00:15:00,710
那個空間有多大
204
00:15:00,890 --> 00:15:07,430
那是個 完全的 四度空間 嗎; 還是就是個在裡面的 從屬空間?
205
00:15:07,550 --> 00:15:12,360
你能否...就讓我來看看你能否...
206
00:15:12,480 --> 00:15:23,150
我的意思是我們有時可以得到一個 肯定 或 否定 的答案 在不需要完整的驗證的情況下.
207
00:15:24,830 --> 00:15:25,900
你認為呢?
208
00:15:26,030 --> 00:15:31,010
現在我在說的這個 從屬空間 是那三個傢伙的 合體,
209
00:15:31,140 --> 00:15:34,480
那可以填滿全部的 四度空間 嗎?
210
00:15:34,600 --> 00:15:37,100
也許 是 或 不是 對那個而言...
211
00:15:37,200 --> 00:15:40,730
不, 不! 不知怎地我們的感覺是,
212
00:15:41,200 --> 00:15:42,830
而這也剛好是正確的
213
00:15:43,060 --> 00:15:46,260
就是如果我們由 3 個向量開始, 而且取它們的 合體
214
00:15:46,420 --> 00:15:49,430
我們不能得到那 完全的四度空間.
215
00:15:51,410 --> 00:15:54,930
現在,不知為什麼我們的到了一個小一點的空間,
216
00:15:55,060 --> 00:15:56,750
但小多少.
217
00:15:57,250 --> 00:15:58,680
嗯, 那沒關係.
218
00:15:58,760 --> 00:15:59,750
那將會被提到這裡.
219
00:15:59,870 --> 00:16:02,410
那還不是那麼立即的.
220
00:16:02,630 --> 00:16:15,010
首先讓我將這重要的關係(連結)與線性方程式結合,
221
00:16:15,020 --> 00:16:19,260
因為在我們抽象定義的背後, 我們有個目的,
222
00:16:19,450 --> 00:16:22,890
而那就是去了解 Ax = b.
223
00:16:23,040 --> 00:16:25,260
所以, 假設我製造了一個 連結.
224
00:16:26,980 --> 00:16:45,820
請問 Ax = b 會一直都有一個對應所有右手邊的 解 嗎?
225
00:16:50,270 --> 00:16:52,920
我猜那將會是一個 是非題
226
00:16:55,650 --> 00:16:57,850
那麼我將要問:
227
00:16:58,460 --> 00:17:00,760
哪一個 右手邊 是 OK 的?
228
00:17:02,050 --> 00:17:04,390
那是我真正想要尋找的問題.
229
00:17:04,760 --> 00:17:10,670
這是右手邊的 b, 正製造
230
00:17:11,320 --> 00:17:13,230
你可以由我說話的 方式看到 -
231
00:17:13,360 --> 00:17:15,700
這個問題的答案是什麼?
232
00:17:16,590 --> 00:17:17,100
答案是 錯!(否定的)
233
00:17:18,470 --> 00:17:22,020
Ax = b 並沒有一個對應所有 b 的 解答.
234
00:17:22,960 --> 00:17:26,630
為什麼我會說 錯?
235
00:17:26,890 --> 00:17:29,310
因為 Ax = b 是...
236
00:17:29,540 --> 00:17:30,560
這真的是...
237
00:17:30,650 --> 00:17:43,370
這是四個方程式, 且只有 3 個未知數, 對吧?
238
00:17:43,550 --> 00:17:48,710
x 是...讓我把那全部給寫出...
239
00:17:48,850 --> 00:17:51,240
那全部的東西就像是...
240
00:17:55,950 --> 00:17:57,760
讓我寫出那 Ax = b.
241
00:17:58,700 --> 00:18:09,710
Ax 是...Ir 的直列是 (1,2,3,4), (1,1,1,1) 且 (2,3,4,5)
242
00:18:09,880 --> 00:18:15,360
那麼 x, 當然有 三個要素,(x1, x2, x3).
243
00:18:15,520 --> 00:18:26,040
而我試著要取, 到達 右手邊, (b1, b2, b3, b4)
244
00:18:28,080 --> 00:18:30,900
所以我的第一點是我不能總是這麼做.
245
00:18:33,300 --> 00:18:37,770
我們就再說一次你 5 分鐘前告訴我的,
246
00:18:38,850 --> 00:18:45,260
就是 這些 直列的合體 不能填滿這整個 第四空間.
247
00:18:45,470 --> 00:18:48,970
那就將會有些 向量 b, 很多的 向量 b
248
00:18:49,460 --> 00:18:52,910
那不會是這些的 合體...屬於這 三個 直列 的.
249
00:18:53,790 --> 00:18:57,250
因為那些直列的 合體 會像是恰好的東西
250
00:18:57,430 --> 00:19:00,290
那就將會是個小的 平面 或是某些在 R4 裡的東西.
251
00:19:01,460 --> 00:19:05,840
現在, 所以你看看我有 4 個方程式,
252
00:19:06,210 --> 00:19:09,720
而且只有 3 個未知數, 所以, 就像任何人會要說的:
253
00:19:09,870 --> 00:19:16,120
不, 你通常沒辦法只用 3 個未知數 來解出 4 個方程式.
254
00:19:16,230 --> 00:19:20,320
但現在我想要說, 有時你可以,
255
00:19:20,470 --> 00:19:25,020
對於一些 右手邊, 我可以解這個.
256
00:19:25,150 --> 00:19:31,470
所以 那就是我有興趣的一串 右手邊的, 現在.
257
00:19:31,680 --> 00:19:37,210
有什麼右手邊的會允許我來解這個?
258
00:19:37,350 --> 00:19:42,630
這是今天的問題. 這將會有個很清楚的答案.
259
00:19:43,110 --> 00:19:47,610
所以, 我的問題是...
260
00:19:47,740 --> 00:19:59,390
有哪個 向量 b 會讓這個系統有解?
261
00:20:02,590 --> 00:20:05,870
而且我想問你..
262
00:20:06,130 --> 00:20:13,280
這會有兩個問號來表示這是個重要的問題.
263
00:20:13,410 --> 00:20:20,040
好的, 首先...再給我完整的答案之前, 先給我一個部分的答案.
264
00:20:20,870 --> 00:20:26,100
告訴我一個可以解這個得右手邊(右排)
265
00:20:26,850 --> 00:20:30,840
所有的 0 ! 好的. 這像是保證的.
266
00:20:30,960 --> 00:20:36,760
這些 b 都是 0, 那麼我就知道我可以解它, x 也都是 0.
267
00:20:36,920 --> 00:20:37,890
沒問題!
268
00:20:39,720 --> 00:20:44,830
所以, 那總是 OK 的. Ax = 0, 我總是可以解它.
269
00:20:45,390 --> 00:20:48,210
現在, 告訴我另一條右排的.
270
00:20:48,320 --> 00:20:51,230
就一組特定的數字
271
00:20:51,360 --> 00:20:58,880
一組可以解這只有三個未知數的四個方程式.
272
00:20:59,210 --> 00:21:02,890
但如果你給我一個好的右排, 我就可以那麼做了.
273
00:21:03,050 --> 00:21:04,890
所以, 告訴我一個.
274
00:21:05,940 --> 00:21:07,600
(1,2,3,4)?
275
00:21:08,210 --> 00:21:10,440
我可以解...
276
00:21:10,610 --> 00:21:13,400
那是個好的右排嗎?
277
00:21:15,420 --> 00:21:16,650
你可以解嗎?
278
00:21:16,810 --> 00:21:25,090
你可以找出一個解那是 x1 + x2 + 2x3 = 1, 2x1 + x2 + 3x3 = 2,
279
00:21:25,210 --> 00:21:27,890
還有兩個方程式?
280
00:21:30,290 --> 00:21:35,110
所以我在請你用心算的...5秒之內.
281
00:21:35,880 --> 00:21:38,950
阿...四個方程式 和 三個未知數...
282
00:21:39,050 --> 00:21:45,230
但你可以這麼做, 因為右排的像是陳列在這邊.
283
00:21:45,370 --> 00:21:47,700
是其中一個 直列!
284
00:21:47,850 --> 00:21:51,500
所以 說說看哪個 x 是可以解這個的.
285
00:21:51,650 --> 00:21:57,410
(1,0,0)! (1,0,0) 可以解, 因為...
286
00:21:59,120 --> 00:22:03,260
這樣吧, 你可以把它乘開來, 用排的...
287
00:22:03,420 --> 00:22:11,650
噢, 天阿, 這樣說比較好 好 這是其中一個 直列, 這個的 0, 還有這個的 0...
288
00:22:11,710 --> 00:22:14,810
所以這是那個直列裡的一個, 也就是我們所要的.
289
00:22:14,920 --> 00:22:19,580
好的. 所以那裡有個 b 是可以的.
290
00:22:20,460 --> 00:22:22,540
現在, 告訴我另一個可行的 b .
291
00:22:22,620 --> 00:22:24,740
告訴我另一個右手邊那是可行的.
292
00:22:26,170 --> 00:22:29,180
這樣吧, 所有的 1 嗎?
293
00:22:32,640 --> 00:22:36,580
事實上在那情況下的答案會是什麼?
294
00:22:36,700 --> 00:22:38,390
(0,1,0) 謝謝!
295
00:22:39,270 --> 00:22:45,170
還有事實上這就像是對付這個的一種方法,
296
00:22:45,290 --> 00:22:47,440
首先先想想答案,對吧?
297
00:22:47,590 --> 00:22:51,980
那麼就先看看 b 會變成什麼吧.
298
00:22:53,600 --> 00:22:57,150
b 會變成什麼, 對吧, 好...
299
00:22:57,600 --> 00:23:01,860
所以, 我想了一下答案, 我想了一個 x.
300
00:23:01,990 --> 00:23:05,280
我想了任何的 x1, x2, x3.
301
00:23:05,410 --> 00:23:09,130
我做了個乘法, 而我得到了什麼?
302
00:23:11,480 --> 00:23:15,980
在哪裡...現在我已經準備好要回答那個大問題了.
303
00:23:17,190 --> 00:23:28,470
我可以解 Ax = b 精確地 當右手邊 b 是個在 直列空間裡的 向量.
304
00:23:29,450 --> 00:23:36,540
好的! 我可以解 直列 b, 當 b 是 直列的合體時
305
00:23:36,830 --> 00:23:38,550
什麼時候會在 直列空間 裡...
306
00:23:39,450 --> 00:23:41,390
所以, 讓我將那個答案給寫下.
307
00:23:43,630 --> 00:23:59,100
我可以解 Ax = b 精確地 當 b 是在 直列空間裡的時候.
308
00:24:01,310 --> 00:24:04,060
就讓我再說一次為什麼會那樣.
309
00:24:05,640 --> 00:24:11,390
因為 直列空間 的 定義 包含了所有的合體
310
00:24:11,750 --> 00:24:13,560
它包含了所有的 Ax
311
00:24:14,470 --> 00:24:19,670
直列空間 真的是由所有的向量空間 A 乘以任何一個 x 所構成的.
312
00:24:20,720 --> 00:24:24,680
所以那是那些我可以對付的 b .
313
00:24:26,390 --> 00:24:30,430
如果 b 是一個直列的合體, 那麼,
314
00:24:31,740 --> 00:24:34,520
那個合體告訴了我 x 應該要是什麼.
315
00:24:35,570 --> 00:24:39,230
如果 b 不是一個直列的合體, 那麼這裡就沒有 x .
316
00:24:39,350 --> 00:24:43,570
而這裡也就沒有能夠解 Ax = b 的方法了. 好.
317
00:24:44,020 --> 00:24:46,510
所以, 那直列空間實際上是...
318
00:24:46,650 --> 00:24:49,590
那就是為什麼我們會對直列空間有興趣了,
319
00:24:49,710 --> 00:24:51,660
因為這是個中心傢伙;
320
00:24:51,800 --> 00:24:54,580
這說明了我們什麼時候可以解它...
321
00:24:55,020 --> 00:25:02,670
而所以, 我們也必須要多了解這些 直列空間...
322
00:25:06,170 --> 00:25:07,230
來看看...
323
00:25:07,570 --> 00:25:10,930
我會不會要這麼想...
324
00:25:11,170 --> 00:25:14,170
是阿, 由於某種因素...讓我們來...
325
00:25:14,290 --> 00:25:18,120
只要我們到這裡, 我會從這個特定的例子裡的到什麼
326
00:25:18,210 --> 00:25:28,250
如果我取這個跟這個的合體, 還有這個?
327
00:25:28,370 --> 00:25:31,870
我會告訴你在我腦海裡的問題.
328
00:25:32,000 --> 00:25:34,550
這甚至還不是一個有用的資產...
329
00:25:34,670 --> 00:25:36,320
但你知道這是什麼意思.
330
00:25:36,860 --> 00:25:41,520
這 3 個直列是獨立的嗎?
331
00:25:41,660 --> 00:25:47,480
如果我取這 3 個直列的 合體...
332
00:25:47,600 --> 00:25:53,910
請問每個 直列 會貢獻出一些新的, 還是不會.
333
00:25:54,270 --> 00:25:57,520
所以, 如果我取了這 3 個直列的 合體
334
00:25:57,650 --> 00:26:00,720
我會得到一些像是 三度空間 的 從屬空間嗎?
335
00:26:00,860 --> 00:26:03,090
我會有 3 個向量 那會像是...
336
00:26:03,150 --> 00:26:08,150
你知道, 獨立, 不管那是什麼意思...
337
00:26:08,250 --> 00:26:12,550
或是我會不...
338
00:26:12,690 --> 00:26:16,120
如果其中一個那些直列並沒有貢獻出任何新的東西
339
00:26:16,260 --> 00:26:22,790
所以那其實只有 2 個 直列 會產生 那一樣的直列空間.
340
00:26:22,920 --> 00:26:26,300
是阿 那是個極好的發問方式. 最後我想到...
341
00:26:26,460 --> 00:26:31,430
我可以扔掉任何直列 並且擁有一樣的 直列空間 嗎?
342
00:26:31,720 --> 00:26:35,920
是的! 而你會建議我扔掉哪一個?
343
00:26:36,190 --> 00:26:41,180
3 自然是個目標...
344
00:26:42,050 --> 00:26:45,080
為什麼? 因為...
345
00:26:45,860 --> 00:26:50,050
那麼 3 又為什麼會那麼遭呢, 直列 3?
346
00:26:50,190 --> 00:26:53,860
這是個總和, 對吧? 這不是...
347
00:26:54,000 --> 00:26:57,470
如果我有這兩個的合體, 而且我把這個也加入
348
00:26:57,550 --> 00:27:00,610
其實我不會再得到任何東西了.
349
00:27:00,780 --> 00:27:06,590
所以, 等一下, 我會把它們叫做樞軸直列.
350
00:27:06,590 --> 00:27:12,460
而那第三個傢伙就不會是個樞軸(中樞)直列, 是那些數字的話.
351
00:27:12,580 --> 00:27:14,290
現在其實...
352
00:27:14,410 --> 00:27:16,900
我想坦率的問你一個問題:
353
00:27:17,030 --> 00:27:19,720
我可以扔掉 直列1 嗎?
354
00:27:19,800 --> 00:27:27,220
是的. 我可以. 我可以. 所以當我提到中樞直列時, 我的習慣是...
355
00:27:27,330 --> 00:27:31,990
好的, 我會留住第一個的 只要它們不是依賴性的.
356
00:27:32,150 --> 00:27:35,900
所以我留住了這個傢伙. 它沒問題的, 是條線. 我留住了第二個傢伙.
357
00:27:36,040 --> 00:27:37,820
這是在第二個方向.
358
00:27:37,950 --> 00:27:43,450
但是第三個, 也就是與前兩個有著相同 平面的;
359
00:27:43,570 --> 00:27:44,770
並沒有給我新的東西,
360
00:27:44,910 --> 00:27:51,880
這是依賴性的, 在我們所使用的語言, 而我也不需要. 好的.
361
00:27:52,880 --> 00:27:56,610
所以, 我會描述這個矩陣的直列空間,
362
00:27:56,770 --> 00:28:00,560
像是一個 R4 的 二度(空間) 從屬空間,
363
00:28:02,620 --> 00:28:05,270
一個 R4 的 二度 從屬空間.
364
00:28:05,470 --> 00:28:09,200
好的. 所以, 你正在看到這些向量空間是如何運作的
365
00:28:09,290 --> 00:28:13,910
而你也看到一些屬於 依賴 , 或是 獨立 的概念...
366
00:28:14,080 --> 00:28:15,450
這是在我們的未來裡面.
367
00:28:15,600 --> 00:28:22,350
好的. 現在我想要探討另一種 向量空間, 虛空.
368
00:28:24,490 --> 00:28:27,690
所以再一次 我正在超前了一點
369
00:28:28,010 --> 00:28:31,390
因為這是在 3.2 節裡, 但那是沒問題的.
370
00:28:32,340 --> 00:28:34,820
好的. 所以我已經準備要迎接 虛空 了.
371
00:28:35,890 --> 00:28:37,840
讓我繼續來用同一個矩陣.
372
00:28:40,870 --> 00:28:46,720
而這將會是一個完全不同的 從屬空間, 完全不一樣.
373
00:28:47,280 --> 00:28:50,880
好. 現在讓我留點空間給...
374
00:28:51,020 --> 00:28:54,140
這裡來了一個完全不同的 從屬空間,
375
00:28:54,780 --> 00:29:05,120
A 的 虛空... 在那裡面是什麼?
376
00:29:08,540 --> 00:29:13,560
這並沒有包含 右手邊的 b.
377
00:29:14,170 --> 00:29:20,650
這包含了 x. 這包含了所有 能夠去解的 x
378
00:29:20,760 --> 00:29:26,550
這個 "空" 字將會... 我是指那是這邊的關鍵字, 就是 0 的意思.
379
00:29:26,820 --> 00:29:28,600
所以這包含了...
380
00:29:28,670 --> 00:29:35,050
這是所有 x 解答
381
00:29:35,280 --> 00:29:40,100
而當然 x 都是向量 (X1, X2, X3)
382
00:29:41,500 --> 00:29:47,510
對於 方程式 Ax = 0.
383
00:29:48,650 --> 00:29:50,350
這樣吧, 4 個方程式.
384
00:29:51,280 --> 00:29:54,330
因為我們有...你看到我在做什麼了嗎?
385
00:29:54,540 --> 00:30:00,050
我現在在說, 好的, 直列們是極好的, 對於 直列空間 我們已了解...
386
00:30:00,150 --> 00:30:03,740
現在我對 x 有興趣.
387
00:30:03,830 --> 00:30:07,980
我唯一有興趣的 b 是... 現在是 b = 0.
388
00:30:08,090 --> 00:30:10,010
右手邊現在是 0.
389
00:30:11,280 --> 00:30:13,710
而我對解答有興趣.
390
00:30:17,200 --> 00:30:21,350
所以, 虛空 在哪裡, 以這個例子而言?
391
00:30:23,090 --> 00:30:26,470
這些 x 是...有 3 個要素.
392
00:30:27,940 --> 00:30:35,160
所以 虛空 是一個 從屬空間, 我們會要證明這是個 R3 的從屬空間.
393
00:30:36,410 --> 00:30:39,020
所以這是...我們會證明.
394
00:30:39,490 --> 00:30:44,920
所以這些 x 的向量... 這是在 R3 裡的,
395
00:30:48,820 --> 00:30:53,870
而 直列空間 在我們的例子裡 是在 R4 裡.
396
00:30:54,000 --> 00:31:02,800
對於一個 m 乘以 n 的矩陣, 這個是 m, 而這個是 n.
397
00:31:02,800 --> 00:31:04,440
因為這些直列的數字,
398
00:31:04,630 --> 00:31:09,910
n 告訴我有多少未知數, 有多少 x 乘以那些 直列.
399
00:31:10,040 --> 00:31:14,520
所以這告訴我了那 大的空間, 在這個我目前所在的 R3 的情況下.
400
00:31:14,850 --> 00:31:21,210
現在, 告訴我為何不找出在這個例子裡的 虛空 是什麼
401
00:31:22,260 --> 00:31:28,740
阿...光用看的就好了. 我的意思是那就是 小例子 的優點.
402
00:31:29,810 --> 00:31:34,970
我正式的找出 虛空 的方法, 還有 直列空間
403
00:31:35,120 --> 00:31:41,670
而直接得到這些事實將會是 排除法, 而我會那麼做.
404
00:31:42,020 --> 00:31:44,770
但以一個小例子我們可以看到...
405
00:31:44,910 --> 00:31:49,380
看到沒有經過排除法的程序將會發生什麼.
406
00:31:49,390 --> 00:31:51,680
所以, 這個 虛空,
407
00:31:53,090 --> 00:31:56,010
所以 我在一次提到了 虛空,
408
00:31:56,450 --> 00:31:58,510
而讓我再一次拷貝那個矩陣
409
00:32:01,270 --> 00:32:06,980
(1, 2, 3, 4), (1, 1, 1, 1) 跟 (2, 3, 4, 5).
410
00:32:08,780 --> 00:32:09,920
在 虛空 裡有什麼?
411
00:32:10,040 --> 00:32:16,090
所以我正在取 A 乘以 x ...所以我可以再寫一遍.
412
00:32:16,210 --> 00:32:21,130
我要你來解那 4 個方程式.
413
00:32:24,050 --> 00:32:27,820
事實上我要你找到那 4 個方程式的所有解答.
414
00:32:28,850 --> 00:32:32,930
好吧, 其實...首先, 找出一個, 但我應該要問你它們全部.
415
00:32:33,030 --> 00:32:38,820
告訴我一個你連矩陣都不用看就可一知道的解答,
416
00:32:38,940 --> 00:32:42,650
知道一個這一組 方程式 的解.
417
00:32:42,770 --> 00:32:45,540
這是 向量 0.
418
00:32:46,000 --> 00:32:51,380
不管那個矩陣是什麼, 它的 虛空 包含了 0
419
00:32:51,500 --> 00:32:56,470
因為 A 乘以 一個 向量 0 必定會在右手邊帶出 0 .
420
00:32:56,630 --> 00:32:58,930
所以 虛空 必定會包含 0 .
421
00:33:00,540 --> 00:33:04,740
所以這就有機會是個 向量空間 了, 而它的結果將會是這樣.
422
00:33:04,860 --> 00:33:08,680
好.告訴我另一個解答.
423
00:33:08,820 --> 00:33:11,170
所以, 這個特定的 虛空,
424
00:33:11,350 --> 00:33:14,730
而當然 我將要稱他為 屬 A 的 N, 對 虛空 而言.
425
00:33:15,730 --> 00:33:22,640
這包含了, 我們已經設定了 向量 0
426
00:33:22,780 --> 00:33:27,020
而現在, 你將要告訴我另一個在 虛空 裡的 向量,
427
00:33:27,150 --> 00:33:31,030
另一個解答, 另一個 x, 另一個...
428
00:33:31,170 --> 00:33:32,840
你看到我正在問你什麼了嗎?
429
00:33:32,980 --> 00:33:34,810
這是個這些 列 的 合體.
430
00:33:34,900 --> 00:33:38,040
我總是在操作 列 的 合體.
431
00:33:38,140 --> 00:33:46,520
但現在我正看到那 x, 那重量, 在 合體 裡的 係數.
432
00:33:46,630 --> 00:33:49,530
所以 告訴我一組好的數字好讓我來放在那兒
433
00:33:51,430 --> 00:34:00,020
(1, 1, -1) 謝了! (1, 1, -1)
434
00:34:00,150 --> 00:34:04,300
所以, 那裏有個 向量 在裡面. 好的.
435
00:34:04,830 --> 00:34:09,370
但像是其他的 從屬空間 這 點 肯定 不是, 對吧?
436
00:34:09,480 --> 00:34:11,390
我只有幾個 向量,
437
00:34:11,500 --> 00:34:13,220
它們沒有辦法形成一個 從屬空間.
438
00:34:13,370 --> 00:34:17,310
告訴我...其實我們為何不跳出那全部呢?
439
00:34:17,460 --> 00:34:21,570
告訴我...好吧, 再告訴我一個解答,
440
00:34:23,210 --> 00:34:25,900
在一個可行的 x.
441
00:34:28,000 --> 00:34:30,120
(2, 2, -2)?
442
00:34:30,460 --> 00:34:33,700
噢, 那麼告訴我所有的它們; 那樣會簡單一點!
443
00:34:33,850 --> 00:34:35,160
現在告訴我那全部.
444
00:34:35,320 --> 00:34:38,110
這個 矩陣 的 虛空 是什麼?
445
00:34:39,220 --> 00:34:41,520
這是 屬於那 形式 的向量.
446
00:34:41,670 --> 00:34:43,650
所以這個可以是什麼...
447
00:34:43,780 --> 00:34:46,130
這可以是 (1, 1, -1)...
448
00:34:46,250 --> 00:34:51,090
這可以是任何數字 c,
449
00:34:52,620 --> 00:34:58,070
又是一樣的數字. 且是 -c.
450
00:34:58,260 --> 00:35:04,400
換句話說, 其實任何這個傢伙 的 倍數.
451
00:35:04,840 --> 00:35:07,130
阿, 那是個完美的描述,
452
00:35:07,270 --> 00:35:14,650
因為現在 向量 0 已經自動被包含了, 因為 c 可以是 0;
453
00:35:15,090 --> 00:35:17,710
我所擁有的 向量 被包含了, 因為 c 可以是 1.
454
00:35:17,840 --> 00:35:19,420
但現在是 所有的 向量.
455
00:35:19,570 --> 00:35:21,860
而其實也只是這樣了...
456
00:35:25,840 --> 00:35:30,800
而我有一個 從屬空間 嗎? 而那看起來像什麼?
457
00:35:31,000 --> 00:35:35,630
這是在...所以, 你會如何 描述 這個, 這個 虛空...
458
00:35:35,790 --> 00:35:46,170
所有這個形式 的 向量 (c, c, -c) 像是 (7, 7, -7) (-11, -11, 11)
459
00:35:46,330 --> 00:35:47,510
在這裡我得到什麼?
460
00:35:48,830 --> 00:35:50,730
這描述了那全部的 虛空...
461
00:35:50,840 --> 00:35:54,600
如果我畫了它, 我會畫什麼?
462
00:35:54,820 --> 00:35:59,920
一條線, 對吧? 虛空 是一條線. 這是一條通過...
463
00:36:00,040 --> 00:36:08,570
這是在 R3 裡. 而 向量 (1, 1, -1),
464
00:36:08,580 --> 00:36:11,940
也許會下來這裡, 我不曉得他會去哪裡, 也許在下面吧.
465
00:36:12,040 --> 00:36:16,860
這裡是你給我的 (1, 1, -1)
466
00:36:17,670 --> 00:36:20,830
And where is the vector (c, c, -c)?
而 向量 (c, c, -c) 又是在哪裡?
467
00:36:20,960 --> 00:36:24,820
是在這條 線 上. 當然 這裡是 我們有的 (0, 0, 0)
468
00:36:24,970 --> 00:36:27,240
而我們有的是全部的...噢...
469
00:36:27,420 --> 00:36:32,170
那全部的 線, 往兩個方向跑的, 會通過 原點.
470
00:36:33,760 --> 00:36:36,410
虛空 是一條 在 R3 裡的 線.
471
00:36:41,080 --> 00:36:51,020
好的. 對那個例子, 我們可以找到所有能夠產生 0 的 直列合體.
472
00:36:51,700 --> 00:36:56,310
線在我可以只再花點時間,
473
00:36:57,250 --> 00:37:03,240
來回到 從屬空間 的定義, 向量 空間,
474
00:37:03,370 --> 00:37:10,530
而問你 要如何知道 一個 虛空 到底是不是 一個向量空間?
475
00:37:10,650 --> 00:37:13,880
我如何有資格來用 空間 這個詞?
476
00:37:14,000 --> 00:37:17,160
我永遠都不會在毫無意義的情況下 用到 空間 這個詞 了,
477
00:37:17,530 --> 00:37:20,140
必須要有 兩個 條件 要被 滿足.
478
00:37:20,980 --> 00:37:22,810
我們能夠檢查看看他們是什麼嗎?
479
00:37:23,440 --> 00:37:27,620
所以我將要看看... 我可以在這裡 繼續 嗎?
480
00:37:28,020 --> 00:37:47,560
檢查看看那 對應 Ax = 0 的解答 總是會帶出一個 從屬空間.
481
00:37:48,350 --> 00:37:52,200
而當然 關鍵詞 就是, 空間.
482
00:37:53,450 --> 00:37:55,340
所以, 我要檢查什麼?
483
00:37:58,030 --> 00:38:02,820
我必須要表示, 就是我如果有一個 解答 就叫他做 x,
484
00:38:02,980 --> 00:38:10,560
而另一個 解答 叫做 x*, 它們的 總和 也是一個 解答. 對吧?
485
00:38:11,520 --> 00:38:12,850
那是一個條件, 對吧?
486
00:38:13,000 --> 00:38:17,300
為了使用那個空間, 我必須要說, 我必須要說服我自己,
487
00:38:17,430 --> 00:38:27,320
就是如果 Ax = 0, 而且 Ax* = 0 ...
488
00:38:27,450 --> 00:38:34,960
而也許我應該說如果 Av = 0, 且 Aw = 0, 那麼 v + w 會是什麼?
489
00:38:35,110 --> 00:38:37,540
所以我...讓我用用那些 字母.
490
00:38:38,180 --> 00:38:46,700
如果 Av = 0, 且 Aw = 0, 那麼..
491
00:38:46,840 --> 00:39:00,320
如果那樣跟那樣, 那麼我在這裡的點 A (v + w) 一定會是 0.
492
00:39:00,620 --> 00:39:05,880
那也就是說如果 v 是在 虛空 裡, 且 w 也是在 虛空,
493
00:39:06,050 --> 00:39:09,190
那麼它們的總和 v + w 就會是在 虛空.
494
00:39:09,330 --> 00:39:10,510
而當然...
495
00:39:10,760 --> 00:39:14,060
現在我寫下的這些是完全 不合理的,
496
00:39:14,070 --> 00:39:15,880
可笑的簡單,
497
00:39:17,260 --> 00:39:25,130
因為 矩陣乘法 允許我去把它分離成 Av + Aw.
498
00:39:27,590 --> 00:39:29,110
我不應該說可笑的簡單
499
00:39:29,330 --> 00:39:30,510
那是個很笨的說法...
500
00:39:30,690 --> 00:39:35,820
我們在這裏使用了一個 矩陣乘法 的 基本法則.
501
00:39:36,020 --> 00:39:37,870
其實我們在沒有證明他的情況下使用了它
502
00:39:38,010 --> 00:39:43,840
但那是沒關係的, 跳過那個證明吧.
503
00:39:43,950 --> 00:39:51,190
我想這是一個能夠讓我將它分為兩等份的 分配法
504
00:39:52,010 --> 00:39:52,910
但現在, 你看到重點了 .
505
00:39:53,610 --> 00:40:01,020
就是 Av = 0, 且 Aw = 0, 所以我有 0 + 0, 且我能夠得到 0. 是正確的!
506
00:40:01,950 --> 00:40:07,330
而同樣地我必須要表示出 如果 Av = 0
507
00:40:07,810 --> 00:40:16,080
那麼 A 乘以 任何 倍數, 像是 12v, 也會是 0.
508
00:40:16,090 --> 00:40:17,280
而我要如何知道,
509
00:40:17,380 --> 00:40:20,580
因為我被允許去帶出那個 12 出來.
510
00:40:20,740 --> 00:40:24,280
一個數字, 一個數量 可以被移到外面.
511
00:40:24,390 --> 00:40:28,040
所以我有 12 Av's, 12 0's. 我有 0.
512
00:40:28,160 --> 00:40:28,700
那也是正確的!
513
00:40:29,750 --> 00:40:37,170
好的, 那麼...這裡有個很重要的必需要被了解...
514
00:40:41,030 --> 00:40:45,190
我原本要說了解 向量空間 的重要性.
515
00:40:45,340 --> 00:40:49,720
讓我藉由轉換 右排的 來說明.
516
00:40:50,920 --> 00:40:55,040
噢...讓我把 右排的 來換到 (1, 2, 3, 4).
517
00:40:55,370 --> 00:40:59,630
噢...好的!我們何不在一堂課裡來作所有的 線性代數
518
00:40:59,750 --> 00:41:01,550
那麼我們就會變的非常...好的.
519
00:41:01,690 --> 00:41:05,570
我會想知道這些方程式的解答,
520
00:41:06,170 --> 00:41:08,010
對應這四個 方程式的.
521
00:41:10,850 --> 00:41:13,940
所以我有四個方程式, 我只有 三個 未知數.
522
00:41:13,980 --> 00:41:18,240
所以如果我沒有一個漂亮的 右排,
523
00:00:00,000 --> 00:00:00,000
那就不會有任何 解答 了.
524
00:41:18,410 --> 00:41:21,000
但那是一個非常特別的 右排.
525
00:41:21,770 --> 00:41:28,040
而我們知道 這裡有一個解答 (1, 0, 0)
526
00:41:28,050 --> 00:41:29,500
那裏有更多的 解答嗎?
527
00:41:29,610 --> 00:41:31,860
而他們有形成一個 向量空間 嗎?
528
00:41:32,020 --> 00:41:36,370
好的. 所以我在問兩個問題.
529
00:41:37,530 --> 00:41:38,820
一個是...
530
00:41:38,980 --> 00:41:41,430
所以我的右排已經不再是 0 了,
531
00:41:41,550 --> 00:41:45,730
在 虛空 中 不可行, 因為 我將它從 0's 換掉.
532
00:41:46,860 --> 00:41:48,750
所以, 我的第一個問題是:
533
00:41:48,940 --> 00:41:52,920
解出 解答, 如果有的話, 而他們也存在
534
00:41:53,490 --> 00:41:55,790
它們會形成一個 從屬空間 嗎?
535
00:41:55,980 --> 00:41:59,080
首先讓我們來說出那個問題 的解答
536
00:41:59,190 --> 00:42:00,290
是與否?
537
00:42:00,440 --> 00:42:04,960
我會得到一個 從屬空間 嗎, 如果我看到解答...
538
00:42:05,650 --> 00:42:09,860
讓我回到 (x1, x2, x3).
539
00:42:09,980 --> 00:42:13,300
我正在看所有的 x's, 在 R3 裡面的 所有 向量
540
00:42:14,570 --> 00:42:19,860
那解了 Ax = b. 我唯一換掉的是 b 已經不再是 0 了.
541
00:42:23,210 --> 00:42:27,230
那麼 x's 會不會, 解答們會不會形成一個 向量空間?
542
00:42:27,940 --> 00:42:30,810
不會, 它們不會, 它們絕對不會.
543
00:42:31,090 --> 00:42:34,270
為何? 有什麼簡單的方法能夠讓我看出我還缺什麼...
544
00:42:34,410 --> 00:42:38,670
這個的解答並不能形成一個 從屬空間,
545
00:42:38,810 --> 00:42:41,480
那些解答不能. 因為...
546
00:42:41,660 --> 00:42:43,670
我該如何說明?
547
00:42:44,450 --> 00:42:49,750
向量 0 並不是一個 解答. 所以我甚至永遠不能夠開始.
548
00:42:49,990 --> 00:42:52,080
向量 0 並不能 解這個 系統.
549
00:42:52,970 --> 00:42:56,270
那些解答並不能是一個 向量 空間.
550
00:42:57,850 --> 00:43:01,150
現在, 他們像什麼?
551
00:43:01,490 --> 00:43:04,780
好吧, 我們會看看這個, 但讓我們來為這個例子作這個.
552
00:43:04,900 --> 00:43:09,660
所以, (1, 0, 0)是一個 解答, 你馬上就將它解出了.
553
00:43:09,800 --> 00:43:11,550
那裏有任何其他的解答嗎?
554
00:43:11,680 --> 00:43:16,570
你可以告訴我第二個對應這個方程式系統的解答嗎?
555
00:43:18,600 --> 00:43:24,830
(0, -1, 1) 天阿! 那是 (0, -1, -1).
556
00:43:26,230 --> 00:43:30,150
是的, 因為那說明了我取負的這個直列加上這個,
557
00:43:30,270 --> 00:43:31,780
而當然, 那是正確的!
558
00:43:33,770 --> 00:43:37,190
所以, 這裡有, 這裡有一堆解答.
559
00:43:41,430 --> 00:43:43,130
但他們不是 從屬空間.
560
00:43:43,540 --> 00:43:44,640
我告訴你它像什麼.
561
00:43:44,790 --> 00:43:47,400
這就像是一個不通過 原點 的 平面,
562
00:43:47,950 --> 00:43:49,990
或是那條 不通過 原點 的 線.
563
00:43:50,120 --> 00:43:53,230
也許再蔗個情況下這是一條 線, 不通過 原點 的.
564
00:43:53,360 --> 00:43:56,300
如果我將 Ax = b 的解答 畫出來.
565
00:43:57,460 --> 00:43:59,490
我想你大概已經了解了:
566
00:43:59,500 --> 00:44:02,530
從屬空間 必須要通過 原點.
567
00:44:02,930 --> 00:44:06,800
如果我正在看 x's, 那麼他們最好能夠解出 Ax = 0...
568
00:44:08,450 --> 00:44:10,460
就某些層面, 我擁有了...
569
00:44:10,680 --> 00:44:16,650
我今天在講的兩個 從屬空間, 是...
570
00:44:16,790 --> 00:44:22,470
我能夠有兩種方法來告訴你一個 從屬空間... 關於一個 從屬空間.
571
00:44:23,540 --> 00:44:26,400
如果我想要告訴你 關於 直列空間,
572
00:44:26,560 --> 00:44:30,630
我告訴你幾個直列而我會說取他們的 合體
573
00:44:30,940 --> 00:44:33,310
就像這些 從屬空間 是我建造出來的一樣.
574
00:44:33,440 --> 00:44:36,740
我放入了一些 向量, 它們的 合體 形成了 一個 從屬空間.
575
00:44:37,520 --> 00:44:39,740
現在當我想要...
576
00:44:39,850 --> 00:44:42,470
在這裡讓我回到那個 從屬空間...
577
00:44:47,100 --> 00:44:49,700
這裡, 當我在講關於 虛空 的時候,
578
00:44:51,280 --> 00:44:53,220
我並沒有告訴你在那裡面是什麼.
579
00:44:53,380 --> 00:44:55,200
我們還不知道在裡面是什麼.
580
00:44:55,350 --> 00:44:58,860
我告訴你的是那個方程式...
581
00:44:59,500 --> 00:45:00,860
那必須要被滿足的.
582
00:45:01,390 --> 00:45:08,240
你看到了像那些就是兩個自然的方式來告訴你在 虛空 中是什麼?
583
00:45:08,370 --> 00:45:11,600
我可以給你一些 向量 而且說,
584
00:45:11,780 --> 00:45:14,740
填滿它, 取 合體,
585
00:45:14,890 --> 00:45:19,090
或是我可以給你一些方程式的系統, 那些條件,
586
00:45:19,820 --> 00:45:22,050
就是那 x's 必須要被滿足.
587
00:45:24,020 --> 00:45:26,630
而這兩種方法都能夠產生 從屬空間,
588
00:45:26,740 --> 00:45:30,400
而他們是建構出 從屬空間 的 重要方法.
589
00:45:31,770 --> 00:45:39,580
好. 所以 ,今天的講課其實已經講到 3.2 節的要點了
590
00:45:39,770 --> 00:45:41,570
虛空 的概念.
591
00:45:41,740 --> 00:45:44,150
我們必須要在星期三時進攻,
592
00:45:44,260 --> 00:45:48,090
就是我們如何得到全部的x's 的 從屬空間 的這份工作,
593
00:45:48,230 --> 00:45:52,820
再一個大一點的例子, 而我們可以看到, 只用眼睛.
594
00:45:52,940 --> 00:45:54,720
好了. 星期三見, 謝了!
Last Modified 1/16/08 5:15 PM
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